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Thème 1 : Série Statistiques

Module 2 : Moyenne d'une série - Indicateurs de position et de dispersion

Cours 1 : Indicateurs de position - Définitions, Méthodes de calcul, et TIC (utilisation de la calculatrice)

Indicateurs de position (aussi appelé tendance centrale) d'une série : moyenne - mode ou classe modale - médiane - premier et troisième quartiles

La Moyenne :

Définition : La moyenne est un important indicateur statistique de position.

Symbole mathématique : $\overline{x}$

La moyenne est utilisée pour résumer une série. La moyenne ne peut se calculer que pour des données à caractère quantitatif.

Méthode de calcul : La moyenne s’obtient en divisant la somme de toutes les valeurs de la série par l’effectif total.
 
Formule :   $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_N}{N}$

   $N$ est l'effectif total et $x_1,x_2,x_3...,x_N$ les valeurs de la série.

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   Exemple 1 : pour s'entraîner aux automatismes
Déterminer (avec ou sans calculatrice) la moyenne des 3 notes : 13, 10, 7.

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   Exemple 2 : On mesure la durée en secondes de la réalisation d'une tâche sur une machine. Les valeurs sont consignées dans le tableau ci-dessous.

74

76

76

77

79

79

79

81

81

81

81

82

Déterminer (avec la calculatrice) la moyenne de cette série.
Comment faire ? Quelle formule utilise-t-on ?

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Utiliser la calculatrice en mode statistique.
On obtient les résultats plus vite mais il faut savoir d'en servir et quelles touches utiliser.

Aide : Saisir les valeurs du caractère dans une colonne et activer les statistiques à 1 variable pour obtenir la moyenne et les autres indicateurs de position.

TEXAS TI 82/TI 83: STATS EDIT (1) => entrer les  valeurs dans L1 + Entrer puis STATS CALC (1) Stats 1-Var + Entrer puis modifier paramètres : List: L1 FreqList : Calculs + Entrer

CASIO 25 / 35 / 90 + E MENU -> STATS+ EXE entrer les  valeurs dans L1+ EXE puis SET pour modifier paramètres : List: L1 FreqList : 1 (pas de liste) CALC (F2) et 1-VAR (F2)

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Données regroupées en classes : utiliser les effectifs

Cette partie aborde des calculs plus complexes. Passer au mode en suivant.

Exemple 3 :  Les valeurs de l'exemple 2 sont maintenant regroupées en classe dans le tableau ci-dessous.

Durée	74	76	77	79	81	82
Effectif	1	2	1	3	4	1

$\overline{x}$ = 78,8 (à 0,1 près) - (utiliser le mode statistique de votre calculatrice ou la formule d'estimation)

Aide : Saisir les valeurs du caractère dans List 1 et les effectifs dans L2 puis activer les statistiques à 1 variable pour obtenir la moyenne et les autres indicateurs de position.

Formule :  Lorsque les données sont déjà regroupées en classes, on peut utiliser une formule d'estimation qui utilise la moyenne des centres de classes pondérée par les effectifs (ou fréquences) :

  $\overline{x}=\frac{x_{1}x{n}_1+x_{2}x{n}_2+x_{3}x{n}_3+...+x_{\mathrm{N}}x{n}_{\mathrm{N}}}{N}$

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Exercice :  On a relevé la taille des élèves d'une classe. Les valeurs sont regroupées en classe d'intervalle dans le tableau ci-dessous.

Classes:	]145;155]	]155;165]	]165;175]	]175;185]	]185;195]
Centres de classe (xi)	150	160	170	180	190
Effectifs (ni)	2	6	9	4	1

Important: On doit utiliser les centres de classe pour compléter le calcul.
$\overline{x}$ = 168 cm (résultat arrondi au cm près)

Utiliser la calculatrice. Lorsque les données sont regroupées en classe, il faut entrer la colonne de valeurs uniques ou centre de classe et la colonne des effectifs puis activer les statistiques à 1 variable.


Figures : Capture écran TI-nspire cx ®

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Le Mode et la classe modale

Le mode d'une série est la valeur de la variable qui correspond à l’effectif (ou à la fréquence) maximale (la plus grande).

Dans le cas d'un caractère quantitatif continu, la classe qui a l’effectif (ou la fréquence) maximal s’appelle classe modale.

Symbole mathématique : Mod ou Mo

Méthode de calcul : Il faut rechercher l’effectif le plus important, c'est aussi la valeur la plus fréquente.

On peut faire cette recherche à partir du tableau de données ou en utilisant une représentation graphique adaptée.

Important : Les diagrammes permettent d'identifier plus facilement et visuellement la plus grande valeur.

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Exemple 5 : Nombre d'hôtels au 1er janvier 2019 (Région de La Réunion) :

Classification	1 étoile	2 étoiles	3 étoiles	4 étoiles	5 étoiles	Non classé
Hôtels	1	15	24	11	4	54

La classification la plus fréquente pour les hôtels de la  Réunion est "Non classé". C'est le mode de la série statistique.

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Exemple 6 :
Le mode de la série de l'exemple 3 est : 81.

La durée de la tâche est le plus souvent égale à 81s

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Exemple 7 : La classe modale de la série de l'exemple 4 est l'intervalle ]165;175]

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Médiane

La médiane d’une série statistique est la valeur du caractère qui partage la série en deux parties de même effectif. Il y a au moins 50% des valeurs en dessous et au moins 50% des valeurs au-dessus de la médiane.

Symbole mathématique : Me ou Med

Méthode de calcul :

Sur des exemples simples, on pourra ranger les effectifs dans l'ordre croissant. Me sera la valeur qui est située au milieu (effectif impair), ou la moyenne des 2 valeurs centrales (effectif pair).

Dans des cas simples, la formules sont :  
$$\mathrm{Si\; n\; est\; pair,\; Me\; est\; la\; moyenne\; des\; valeurs\; de\; rang}\frac{n}{2}\mathrm{et\; de\; rang}\frac{n}{2}+1$$ $$\mathrm{Si\; n\; est\; impair,\; Me\; est\; la\; valeur\; de\; rang}\frac{n+1}{2}$$
Attention : les valeurs du caractère sont ordonnées dans l’ordre croissant, n est l'effectif total

TIC : On utilisera le plus souvent les fonctions statistiques de la calculatrice ou un tableur. 

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Exemple 8 : pour s'entraîner aux automatismes

Déterminer sans calculatrice la médiane des 6 notes : 5, 7, 10, 11, 13, 13, 14.
Me = 11. Il y a bien 3 notes supérieures et 3 notes inférieures à 11.

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Exemple 9 :  

La médiane de la série de l'exemple 1 est obtenue avec la calculatrice. Me = 79 .

On peut vérifier qu'il y a 12 valeurs, 6 sont inférieures ou égales à 79 , et 6 valeurs sont supérieures ou égales à 79.


On peut aussi calculer Me en construisant un tableau avec les valeurs ordonnées dans l’ordre croissant. L'effectif total est pair (12), la moyenne des valeurs centrales (de rang 6 et 7) est égale à : (79 + 79 )/ 2 = 79

Rang	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Valeur	74	76	76	77	79	79	79	81	81	81	81	82

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Quartiles

Le 1^er quartile Q1 est la valeur de la série telle que 25% des valeurs du caractère étudié lui sont inférieures ou égales.

Le 3^ème quartile Q3 est la valeur de la série telle que 75% des valeurs du caractère étudié lui sont inférieures ou égales.

Symbole mathématique : Q1 et Q3

Méthode de calcul : TIC

 On utilisera le plus souvent les fonctions statistiques de la calculatrice ou un tableur. 

Vérifier et valider le résultat en observant et comptant les valeurs en utilisant le tableau de données ou un diagramme adapté.

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Exemple 10  :  

Les quartiles de la série de l'exemple 1 sont obtenus avec la calculatrice.
Q1 = 76.5
On observe bien depuis le tableau ci-dessus que 25% des données, soit 3 valeurs, sont inférieures à 76.5
Q3 = 81
On observe aussi que 75% des des données, soit 9 valeurs du caractère étudié sont inférieures ou égales à 81.

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Exemple 11  : pour s'entraîner aux automatismes
Déterminer sans calculatrice la médiane, le 1^er quartile et 3^ème quartile de la série statistique suivante : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q1 = 3 , Q3 = 8 , Me = 5.5