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Thème 1 : Série Statistiques

Module 2 : Moyenne d'une série - Indicateurs de position et de dispersion

Fiche de Synthèse No2/2 : Indicateurs de dispersion - Définitions et méthodes de calculs

Indicateurs de dispersion d'une série : ce sont l'étendue, l'écart-type et l'écart interquartile. TIC : instructions pour TI 82-83 et Casio35graph
Définitions, Méthode de calcul, et TIC Exemples

L'étendue

L'étendue permet de donner une mesure de la dispersion totale d'une série. Il s'agit de la différence entre les valeurs extrêmes qui sont la plus grande et la plus petite valeurs de la série.

Symbole mathématique : e

Méthode de calcul : L'étendue s’obtient en soustrayant la plus grande  valeur de la série par la plus petite.
Dans le cas d’intervalles on prend les bornes extrêmes du 1er et dernier intervalle.

On peut aussi utiliser les fonctions statistiques de la calculatrice.
stats-syn1-screen1.png Saisir les valeurs du caractère dans une colonne et activer les statistiques à 1 variable les indicateurs de position et dispersion.





On lit sur l'écran (Capture écran TI-nspire cx ®) les valeurs MaxX et MinX l'étendue est égale à leur différence.

Comme l'affichage de l'écran peut changer selon la calculatrice. Bien se familiariser est donc important.

Des instructions pour TI 82-83 et Casio35graph
sont fournies. Le manuel de la calculatrice donne aussi des exemples.		 Exemple 1 : pour s'entraîner aux automatismes
Déterminer sans calculatrice l'étendue des 5 notes : 13, 6, 10, 7, 15.
e = 15 - 6 = 9

Exemple 2 :  On mesure la durée en secondes de la réalisation d'une tâche sur une machine. Les valeurs sont consignées dans le tableau ci-dessous.

74 76 76 77 79 79 79 81 81 81 81 82
e = 82 - 74 = 8 s

Exemple 3 :  Les valeurs de l'exemple 1 sont maintenant regroupées en classe dans le tableau ci-dessous.

Durée 74 76 77 79 81 82
Effectif 1 2 1 3 4 1
L'étendue est inchangée, e = 8 s

Exemple 4 :  On a relevé la taille des élèves d'une classe. Les valeurs sont regroupées en classe d'intervalle dans le tableau ci-dessous.

Classes: ]145;155] ]155;165] ]165;175] ]175;185] ]185;195]
Centres de classe (xi) 150 160 170 180 190
Effectifs (ni) 2 6 9 4 1
Important: On utilise les valeurs extrêmes du plus petit intervalle ]145;155] et plus grand intervalle ]185;195].
 e = 195 - 145 = 50 cm

L'écart type

L'écart-type est une mesure de dispersion des valeurs de la série statistique  autour de la moyenne. Plus l'écart-type est petit plus la population observée est homogène. Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont étalées de part et d'autre de la moyenne.

Le couple ( x¯,σ ) est utilisé pour décrire et mesurer une série statistique. Il sert aussi à comparer des séries.

Symbole mathématique :  σ
Méthode de calcul : on utilisera uniquement la calculatrice.
stats-syn1-screen1.png stats-syn1-screen1.png









À quoi ça sert? On peut chercher à réduire la variabilité des produits d'un processus, cela réduit le risque d'un produit/service rejeté pour non-conformité aux spécifications. Par exemple, pour un processus de production qui produit des pièces dont la longueur varie, on mesurera l'écart type pour s'assurer de rester dans les spécifications requises.		 Exemple 5 :  Courbe de Gauss des effectifs - distribution dite "normale" (aussi appelée courbe en cloche).  Pour ce type de série statistique, la population est regroupée à  :
  • 95 % dans l’intervalle [ x¯-2σ ;  x¯+2σ ]
  • 99 % dans l’intervalle [ x¯-3σ ;  x¯+3σ ]
  • 99.9999998% dans l’intervalle [ x¯-6σ ;  x¯+6σ ]
stats-syn1-screen1.pngLa méthode 6σ est très exigeante, elle a pour but d'améliorer ses processus de fabrication et atteindre moins de 2 défauts par milliards de pièces produites.

Certaines entreprises peuvent rechercher un niveau de qualité 3σ avec seulement 1% de pièces "hors-norme".

Exemple 6 :  L'écart-type de la série de l'exemple 2 est : 2.4 (à 0,1 près). Les valeurs ont une dispersion faible, elles se regroupent assez bien autour de la moyenne.

Exemple 7 : L'écart-type de la série de l'exemple 4 est : 9.8  (à 0,1 près). Les valeurs sont peu dispersées.

L'écart interquartile

L'écart interquartile est la différence entre le troisième et premier quartile. Plus la différence est grande, plus les valeurs sont dispersées autour de la médiane.

L'écart interquartile mesure  la dispersion autour de la médiane. L'écart interquartile comprend 50% des valeurs les plus au centre de la série statistique. 

Le couple (Me,Q3-Q1) est utilisé pour décrire et mesurer une série statistique. Il sert aussi à comparer des séries.

Symbole mathématique : Q3 - Q1

Méthode de calcul : on utilisera principalement la calculatrice.
Une fois que l'on a déterminé Q1 et Q3 il suffit de faire la soustraction : Q3 - Q1.


Exemple 8 :  L'écart interquartile de la série de l'exemple 2 est :

Q3 - Q1 = 81 - 76.5 = 4.5

Cela se traduit par la moitié des valeurs de la série qui sont regroupées autour de la médiane Me=79.

On peut vérifier et comprendre en construisant un tableau avec les valeurs ordonnées dans l’ordre croissant.

Les 6 valeurs suivantes : 
77, 79, et 79 d'un côté et 79, 81, et 81 de l'autre côté se répartissent autour de la médiane avec une dispersion qui est faible de moins de 4.5 s
En effet : 81 - 77 = 4
Dans un intervalle de moins de 4.5 s, on retrouvera bien 50% des valeurs de la série réparties autour de sa médiane.

Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Valeur 74 76 76 77 79 79 79 81 81 81 81 82