Relations dans un triangle rectangle
Dans certaines situations, il va falloir combiner les relations apportées par le théorème de Pythagore, les rapports trigonométriques et tes connaissances géométriques de base pour trouver les longueurs ou les angles inconnus d'un triangle rectangle.
Exemple : Soit un losange ABCD de côté 3,2 cm et dont l'angle de sommet C a pour mesure 61°. Les deux diagonales sont sécantes en leur milieu O.
Nous allons déterminer le triangle A0D
D'abord, reportons ces informations sur un schéma à l'échelle (cela nous permettra ensuite d'effectuer une vérification rapide de nos résultats) :
Ensuite, mettons en évidence les longueurs et les angles connus et inconnus du triangle :
La présence de l'angle droit permet d'établir une première relation grâce au théorème de Pythagore :
La présence de l'angle droit permet d'établir une deuxième, troisième et quatrième relations grâce aux rapports trigonométriques :
La propriété de la somme des angles dans un triangle permet d'établir une cinquième relation :
Nous avons l'embarras du choix pour résoudre le triangle ! Bien sûr, ce qui nous intéresse est de trouver les résultats le plus vite possible avec le moins de calculs intermédiaires possibles :
Compte tenu des données, la méthode la plus directe est de déterminer les deux longueurs inconnues grâce aux 2 premières relations trigonométriques :
Puis, le 3ème angle en utilisant la somme des angles :
Enfin vérifions nos résultats en utilisant la relation de Pythagore, la 3ème relation trigonométrique ou le dessin à l'échelle :
L'étape de la vérification est indispensable si tu veux progresser dans ce type d'exercices : personne n'est à l'abri d'une erreur de calcul, donc il est important d'avoir plusieurs méthodes pour recouper tes résultats et repérer les erreurs éventuelles...
Pour trouver des angles ou des longueurs inconnues dans un triangle quelconque, nous allons établir de nouvelles relations.
La hauteur [AH] menée de A fait apparaître deux triangles rectangles AHC et ABH. Nous pouvons utiliser des rapports trigonométriques pour évaluer de façon différente la longueur AH :
Ces relations sont très utiles dans le triangles quelconque et peuvent être établies pour les 3 angles, ce sont "les relations du sinus" :
La figure ci-dessous a été tracée avec un logiciel de PAO qui permet de mesurer les cotes et les angles qui sont indiquées sur le schéma. Vérifie que les 3 rapports de la formule des sinus sont égaux à 0,099 (valeur approchée au millième près) :
Le rapport des sinus ci-dessus est aussi égal à l'inverse du diamètre du cercle circonscrit au triangle : tu pourras le vérifier en construisant le cercle circonscrit à ce triangle. Tu trouveras que le cercle circonscrit a un diamètre d'environ 10 cm !
On utilise aussi parfois un ensemble de 3 relations dites "du cosinus" pour le triangle quelconque. la première relation est :
a2 = b2 + c2 - 2bc cos Â.
Les deux autres relations sont obtenues en effectuant des permutations circulaires des noms des longueurs et des angles...
Il n'est en aucun cas permis de télécharger ou d'enregistrer les images et animations présentées ci-dessus
